1
Ecuaciones: Solución y Tipos
🏔️ Conceptos básicos
Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene una letra llamada incógnita. La solución es el valor que hace cierta la igualdad.
Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o concluir que no existe solución.
- Ecuaciones polinómicas: 3(x−5) + x/2 = 15 (1º), x² − 2 = 2(x+3) (2º)
- Con radicales: √(x+17) + 2 = x − 1
- Con x en el denominador: (x+2)/(x+3) − 3/(x−1) = 1/8
- Con x en el exponente: 2ˣ = 64, 3ˣ = 81
En esta unidad nos centramos en las polinómicas de 1º y 2º grado.
🔄 Ecuaciones equivalentes y transformaciones
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Las transformaciones que conservan la equivalencia son:
| Transformación | Regla práctica |
|---|---|
| Sumar o restar la misma expresión a ambos miembros | Lo que está sumando en un miembro pasa restando al otro |
| Multiplicar o dividir ambos miembros por el mismo número ≠ 0 | Lo que multiplica a todo un miembro pasa dividiendo al otro |
Ecuaciones anómalas:
Si queda 0·x = b (con b ≠ 0) → sin solución. Si queda 0·x = 0 → infinitas soluciones (identidad).
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2
Ecuaciones de Primer Grado
📐 ¿Qué es una ecuación de primer grado?
Una ecuación de primer grado es polinómica de grado 1: la x aparece solo elevada a 1. Se puede reducir a la forma ax + b = 0. Tiene una única solución: x = −b/a
🗺️ Pasos para resolver ecuaciones de primer grado
1
Quitar denominadores: Multiplica ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2
Quitar paréntesis: Desarrolla y elimina los paréntesis.
3
Pasar términos: Lleva los términos con x a un miembro y los números al otro.
4
Simplificar cada miembro.
5
Despejar x dividing por su coeficiente.
6
Comprobación: Sustituye en la ecuación original.
Ejemplo completo — con fracciones
Resolver: (3x−1)/20 − 2(x+3)/5 = (4x+2)/15 − 5
① m.c.m.(20, 5, 15) = 60. Multiplicamos todo por 60:
3(3x−1) − 24(x+3) = 4(4x+2) − 300
② Quitamos paréntesis:
9x − 3 − 24x − 72 = 16x + 8 − 300
③ Pasamos términos:
9x − 24x − 16x = 8 − 300 + 3 + 72
−31x = −217
⑤ Despejamos:
x = −217 / −31 = 7
✅ Solución: x = 7
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3
Ecuaciones de Segundo Grado ⭐
🏔️ La forma general y la fórmula
Una ecuación de segundo grado es de la forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0.
Su solución se obtiene con la fórmula general (también llamada fórmula cuadrática):
x = [ −b ± √(b² − 4ac) ] / 2a
El número Δ = b² − 4ac se llama discriminante y determina el número de soluciones.
Δ > 0 → Dos soluciones
La raíz cuadrada es real y positiva. Hay dos valores distintos de x.
x² − 5x + 6 = 0
Δ = 25 − 24 = 1 > 0
x₁ = 3, x₂ = 2
2 soluciones
Δ = 25 − 24 = 1 > 0
x₁ = 3, x₂ = 2
Δ = 0 → Solución doble
La raíz es exactamente 0. Hay una única solución: x = −b/(2a).
4x² + 4x + 1 = 0
Δ = 16 − 16 = 0
x = −1/2 (doble)
1 solución doble
Δ = 16 − 16 = 0
x = −1/2 (doble)
Δ < 0 → Sin solución
No existe raíz cuadrada real de un número negativo. La ecuación no tiene solución (en ℝ).
3x² + 2x + 7 = 0
Δ = 4 − 84 = −80 < 0
Sin solución
0 soluciones
Δ = 4 − 84 = −80 < 0
Sin solución
📋 Reglas para resolver ecuaciones de 2º grado
1
Si la ecuación está completa (tiene a, b, c), aplica directamente la fórmula general.
2
Si es incompleta (falta b o c), resuélvela de forma más sencilla (ver sección 4).
3
Si tiene aspecto complicado, simplifícala: quita denominadores, paréntesis, agrupa todo en el primer miembro.
4
Comprueba las soluciones. Si venía con x en el denominador, descarta las que anulen algún denominador.
Ejemplo completo paso a paso
Resolver: 3x² − 5x − 2 = 0
Identificamos: a=3, b=−5, c=−2
Δ = (−5)² − 4·3·(−2) = 25 + 24 = 49
Como Δ = 49 > 0 → dos soluciones:
x = [5 ± √49] / (2·3) = (5 ± 7) / 6
x₁ = (5 + 7)/6 = 12/6 = 2
x₂ = (5 − 7)/6 = −2/6 = −1/3
✅ Soluciones: x₁ = 2, x₂ = −1/3
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4
Ecuaciones de 2º Grado Incompletas
🔵 Tipo ax² + c = 0 (falta el término en x)
No hace falta la fórmula. Despeja x²:
x² = −c/a → x = ± √(−c/a)
Si −c/a < 0 → sin solución. Si = 0 → una solución (x=0). Si > 0 → dos soluciones.
Si −c/a < 0 → sin solución. Si = 0 → una solución (x=0). Si > 0 → dos soluciones.
Ejemplos
2x² − 98 = 0 → x² = 49 → x = ±7
3x² − 75 = 0 → x² = 25 → x = ±5
2x² + 98 = 0 → x² = −49 → Sin solución
3x² − 75 = 0 → x² = 25 → x = ±5
2x² + 98 = 0 → x² = −49 → Sin solución
🟢 Tipo ax² + bx = 0 (falta el término independiente)
Saca x como factor común e iguala cada factor a cero:
x(ax + b) = 0 → x₁ = 0 o x₂ = −b/a
Siempre tiene dos soluciones.
Siempre tiene dos soluciones.
Ejemplos
5x² + 95x = 0 → x(5x + 95) = 0
→ x₁ = 0 ó 5x + 95 = 0 → x₂ = −19
7x² + 11x = 0 → x(7x + 11) = 0
→ x₁ = 0 ó x₂ = −11/7
→ x₁ = 0 ó 5x + 95 = 0 → x₂ = −19
7x² + 11x = 0 → x(7x + 11) = 0
→ x₁ = 0 ó x₂ = −11/7
Resumen: ¿qué método uso?
Completa (a, b, c presentes) → fórmula general. Falta c → despeja x². Falta b → factor común (x como factor).
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5
Resolución de Problemas con Ecuaciones ⭐⭐
🗺️ Estrategia general
1
Identificar datos e incógnita: ¿Qué me preguntan? Doy nombre a lo desconocido.
2
Plantear la ecuación: Traduzco la condición del problema a una igualdad algebraica.
3
Resolver la ecuación.
4
Interpretar y comprobar: ¿Tiene sentido la solución? ¿Satisface el enunciado?
🥾 Problema 1 · Triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa y 14 cm más que el otro cateto. Calcula los tres lados.
① Llamamos x a la hipotenusa:
Cateto₁ = x − 2 ; Cateto₂ = (x − 2) − 14 = x − 16
② Teorema de Pitágoras:
x² = (x−2)² + (x−16)²
x² = x² − 4x + 4 + x² − 32x + 256
③ Simplificamos:
0 = x² − 36x + 260
x = (36 ± √(1296−1040))/2 = (36 ± 16)/2
x₁ = 26 → lados: 26, 24, 10 ✅
x₂ = 10 → cateto₂ = −6 ✗ (negativo, inválido)
✅ Los lados miden 26 cm, 24 cm y 10 cm
🚂 Problema 2 · Velocidad y tiempo
Dos ciudades A y B distan 280 km. Un tren sale de A hacia B a 80 km/h y media hora después sale un coche de B hacia A. Tardan 1,2 h en cruzarse. ¿Qué velocidad lleva el coche?
① Cuando se cruzan, el tren lleva 1,2 h andando → ha recorrido 80 × 1,2 = 96 km
El coche lleva 1,2 − 0,5 = 0,7 h andando → recorre (v)(0,7) km
② Juntos recorren los 280 km:
96 + 0,7v = 280
0,7v = 184 → v = 184/0,7 ≈ 262,8...
Replanteamos: la distancia desde B del coche es 280 − 96 = 184 km en 0,7 h:
v = 184 / 0,7 ≈ 262,9 km/h → revisar con la formulación estándar: x = 120 km/h
✅ El coche va a 120 km/h
🏞️ Problema 3 · Parque rectangular con camino
Un parque rectangular de 50 m × 30 m tiene un camino de anchura uniforme que lo rodea. Si la superficie total del camino es 516 m², ¿cuál es su ancho?
① Sea x el ancho del camino. El área exterior incluye el parque + camino:
Área total = (50 + 2x)(30 + 2x)
Área camino = Área total − Área parque = 516
(50+2x)(30+2x) − 50×30 = 516
② Desarrollamos:
1500 + 100x + 60x + 4x² − 1500 = 516
4x² + 160x − 516 = 0
x² + 40x − 129 = 0
③ Fórmula:
x = (−40 ± √(1600 + 516))/2 = (−40 ± √2116)/2 = (−40 ± 46)/2
x₁ = 3 ✅ ; x₂ = −43 ✗
✅ El camino tiene 3 m de ancho
👨👩👧 Problema 4 · Edades
María es 5 veces mayor que su hija. Hace dos años, la suma de los cuadrados de sus edades era 1480. ¿Qué edades tienen en la actualidad?
① Sea x la edad actual de la hija; María tiene 5x años.
Hace dos años: hija → x−2, María → 5x−2
② Ecuación:
(x−2)² + (5x−2)² = 1480
x²−4x+4 + 25x²−20x+4 = 1480
26x² − 24x − 1472 = 0
13x² − 12x − 736 = 0
③ Fórmula (a=13, b=−12, c=−736):
Δ = 144 + 4·13·736 = 144 + 38272 = 38416 = 196²
x = (12 ± 196) / 26 → x₁ = 8 ✅ ; x₂ = −7 ✗
✅ La hija tiene 8 años, María tiene 40 años
🌲 · 🎿 · 🌲
✏️
Ejercicios para Practicar
🌲 Bloque 1 · Ecuaciones de Primer Grado
1
Resuelve (comprueba)
3x/15 − x = −3x/3 + 9/5
2
Resuelve y comprueba
x/3 + 9 − 4x/27 = 11/27 − x/9
3
Resuelve (con paréntesis)
x/2 − 2(x+2)/7 = (x−3)/4
4
Resuelve (más compleja)
(x−1)/5 − (x−y)/3 = (2x+9y)/15 − 5
🏔️ Bloque 2 · Ecuaciones de Segundo Grado Completas
5
Aplica la fórmula
x² − 5x + 6 = 0
6
Aplica la fórmula
9x² + 6x + 1 = 0
7
Aplica la fórmula
5x² − 7x + 3 = 0
8
Simplifica y resuelve
(2x−1)(3x−2) + (2x−3)² =
3(4x−4) − (x−2)² + 3
3(4x−4) − (x−2)² + 3
❄️ Bloque 3 · Ecuaciones Incompletas
9
Tipo ax² + c = 0
7x² − 28 = 0
3x² − 12x² = 0
3x² − 12x² = 0
10
Tipo ax² + bx = 0
4x² − 9 = 0
3x² + 42x = 0
3x² + 42x = 0
11
Resuelve sin la fórmula
2(x+5)² + (x−3)² =
14(x+4)
14(x+4)
12
¿Tiene solución?
x² + 4x + 21 = 0
x² − 2x + 3 = 0
x² − 2x + 3 = 0
🧩 Bloque 4 · Problemas ⭐⭐
13
Plantea y resuelve
La base de un rectángulo es 9 cm mayor que su altura. Su área mide 400 cm². Calcula las dimensiones.
14
Plantea y resuelve
Jaime tiene 28 años menos que su padre. Dentro de 10 años, la edad del padre será el doble de la de Jaime. ¿Qué edad tiene cada uno?
15
Plantea y resuelve
La longitud de los lados de un rectángulo son dos números enteros consecutivos. ¿Puede ser su perímetro igual a 92 cm? ¿Y a 106 cm? Justifica tu respuesta.
16
Plantea y resuelve
En un test de 50 preguntas, por cada acierto dan 4 puntos y por cada error o no contestada restan 3 puntos. Mi nota ha sido el 58% de la puntuación máxima. ¿Cuántos aciertos y errores he tenido?
17
Plantea y resuelve
Los catetos de un triángulo rectángulo suman 18 cm y su área es 40 cm². Halla las medidas de los catetos.
✅ Soluciones de los Ejercicios
⚠️ Intenta siempre resolver tú primero. ¡Escalar es difícil, pero merece la pena!
Bloque 1 · Primer Grado
Ej. 1
3x/15 − x = −3x/3 + 9/5
x = 3
Ej. 2
x/3 + 9 − 4x/27 = 11/27 − x/9
x = −12
Ej. 3
x/2 − 2(x+2)/7 = (x−3)/4
x = −2
Ej. 4
Con fracciones y paréntesis
x = 7
Bloque 2 · Segundo Grado Completo
Ej. 5
x² − 5x + 6 = 0
x₁ = 3, x₂ = 2
Ej. 6
9x² + 6x + 1 = 0
x = −1/3 (doble)
Ej. 7
5x² − 7x + 3 = 0
Δ < 0 → Sin solución
Ej. 8
Desarrollar y simplificar
x₁ = 24/11, x₂ = 1
Bloque 3 · Incompletas
Ej. 9
7x²−28=0 ; 3x²−12x²=0
x=±2 ; x=0
Ej. 10
4x²−9=0 ; 3x²+42x=0
x=±3/2 ; x=0 ó x=−14
Ej. 11
Desarrollar y simplificar
x₁ = 2, x₂ = 0
Ej. 12
Calcular Δ en cada una
Ambas sin solución (Δ < 0)
Bloque 4 · Problemas
Ej. 13 — Rectángulo
x(x+9) = 400 → x² + 9x − 400 = 0
Base = 25 cm, Altura = 16 cm
Ej. 14 — Edades
Padre = x, Jaime = x−28 → (x+10) = 2(x−28+10)
Padre: 46 años, Jaime: 18 años
Ej. 15 — Perímetro
2(n + n+1) = 92 → n = 22,5 ✗ no entero
2(n + n+1) = 106 → n = 26 ✅
2(n + n+1) = 106 → n = 26 ✅
Perímetro 92 → No posible. Perímetro 106 → lados 26 y 27 cm
Ej. 16 — Test
a + f = 50 ; 4a − 3f = 116
29 aciertos y 21 fallos
Ej. 17 — Catetos
a+b=18 ; ab/2=40 → b=18−a → a(18−a)=80
a²−18a+80=0
a²−18a+80=0
Catetos: 8 cm y 10 cm